기초통계 / 확률변수의 분산과 표준편차

표본 분산을 떠올려보자.

 

표본 분산은 간단하게 위와 같이 쓸 수 있지만, 아래와 같이 표본에서 관측값이 차지하는 비율(=상대도수)을 사용하여 쓸 수도 있다. 왜냐하면 표본 평균은 '관측값 x 상대도수'의 합계로 나타낼 수 있다고 했고, 표본 분산은 편차제곱을 평균낸 것이므로 이를 '편차제곱 x 상대도수'의 합계로 나타낼 수 있는 것! 예를 들어 n이 10이라고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

✓ n이 계속 커지면 '표본'은 결국 '모집단'이 되고, 특정 값에 대한 '비율'은 특정 값이 발생할 '확률'이 된다. 이에 따라 표본 평균은 모평균이 되며 표본 분산은 모분산이 된다. 

 

• 표본 → 모집단

• 표본에서 특정 값에 대한 비율 → 사건이 일어날 '확률'

• 표본 평균 → 모평균

• 표본 분산 → 모분산

• n/(n-1) → 1

 

 

 

모분산 = 확률변수의 분산

• 모분산은 확률변수의 분산으로 표현할 수 있다.

 

 

(1) 이산 확률변수의 분산

 

(2) 연속 확률변수의 분산

 

 

 

모집단의 표준편차 = 확률변수의 표준편차

 

 

 

확률변수의 분산, 표준편차 성질

 

위치의 변화를 주는 상수 b는 분산에 영향을 주지 않는다. 분산은 측정단위의 제곱의 형태로 나타낸 것이기 때문에 a는 제곱하여 곱해주는 것이다.